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按照课件的目录逐步推进：

1. 计算拓扑与拓扑数据分析简介

2. 流形、复形、同调

3. 链复形与同调群

4. 同调群的计算

E:\py_code\compute_topo.py

E:\py_code\compute_topo_v2.py

计算拓扑于1999年提出:
Dey T K, Edelsbrunner H, Guha S. Computational topology. Contemporary mathematics, 1999, 223: 109-144.

拓扑数据处理于2009年提出：
Carlsson G. Topology and Data. Bulletin of the American Mathematical Society, 2009, 46(2): 255-308

在研究数据的拓扑性质时，应该如何处理它与“几何（Geometry）”的关系？为什么现代数据分析需要这种视角的转换？

• 现在我们经常会得到以极长向量形式呈现的数据，其中大部分坐标与我们关注的问题无关、几何与拓扑之间存在协同效应，与几何的关联可以被暂时搁置。所以可以先研究拓扑层面的问题。
• 面对高维向量数据（Data in the form of very long vectors），传统的几何度量（如欧氏距离）往往会因为“维数灾难”或者大部分维度的无关性而失效。此时，我们暂时忽略具体的几何细节（The connection to geometry can be forgotten temporarily） ，转而关注数据的“形状”或“结构”（即拓扑特征），往往能发现数据中隐藏的模式。
• 有一种说法是，在高维数据的时候，往往维度本身就是一种噪声，所以也有了各种降维，即降维在很多情形下蕴含去噪。